Merhaba!
Bu soru, sayıların sonundaki sıfırların nasıl oluştuğunu anlamamızı gerektiren güzel bir matematik problemidir. Bir sayının sonunda kaç tane sıfır olduğunu bulmak için, o sayının asal çarpanlarına derinlemesine bakmamız gerekir.
Sondan Sıfır Basamağı Ne Demektir ve Nasıl Oluşur?
Bir sayının sonunda sıfır olması, o sayının 10 ile tam bölünebildiği anlamına gelir. Örneğin, 40 sayısının sonunda bir sıfır vardır çünkü 40 = 4 x 10'dur. 100 sayısının sonunda iki sıfır vardır çünkü 100 = 10 x 10'dur.
Peki 10 sayısı hangi asal çarpanlardan oluşur? 10 = 2 x 5'tir. Yani, bir sayının sonunda sıfır oluşması için o sayının asal çarpanları arasında en az bir tane 2 ve en az bir tane 5 olması gerekir. Bir sayıda kaç tane "2 x 5" çifti oluşturabiliyorsak, o kadar sıfır basamağı olur.
Genellikle, bir çarpım içindeki 2 çarpanlarının sayısı, 5 çarpanlarının sayısından daha fazladır. Bu yüzden, sondaki sıfır sayısını bulmak için genellikle sadece 5 çarpanlarının sayısını saymak yeterlidir. Çünkü 5 çarpanı ne kadar azsa, o kadar az 2x5 çifti oluşturabiliriz.
Sorudaki Sayıları İnceleyelim:
Verilen ifade (6.26.44.54.69.81)³ şeklindedir. Önce parantez içindeki çarpımın (6 * 26 * 44 * 54 * 69 * 81) sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulalım. Bunun için her bir sayının asal çarpanlarını ayıralım ve içlerinde kaç tane 5 çarpanı olduğunu kontrol edelim:
- 6 = 2 x 3 (5 çarpanı yok)
- 26 = 2 x 13 (5 çarpanı yok)
- 44 = 2 x 2 x 11 = 2² x 11 (5 çarpanı yok)
- 54 = 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 3³ (5 çarpanı yok)
- 69 = 3 x 23 (5 çarpanı yok)
- 81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 3⁴ (5 çarpanı yok)
Gördüğümüz gibi, parantez içindeki çarpımda yer alan sayıların hiçbirinde 5 asal çarpanı bulunmamaktadır. Bu durumda, bu sayıları çarptığımızda elde edeceğimiz sonuçta da hiç 5 çarpanı olmayacaktır.
Peki bu ne anlama geliyor?
Hiç 5 çarpanı olmadığı için, 2 x 5 çifti de oluşturamayız. Dolayısıyla, (6 * 26 * 44 * 54 * 69 * 81) çarpımının sonunda sıfır basamağı yoktur. Bu çarpımın sonucu, birler basamağı sıfır olmayan bir sayı olacaktır.
Üçüncü Kuvvetin Etkisi:
Şimdi sayımız (6.26.44.54.69.81)³ olduğuna göre, bu ne anlama geliyor? Bu, parantez içindeki sayıyı kendisiyle üç kez çarptığımız anlamına gelir. Yani: (Sayımız) x (Sayımız) x (Sayımız).
Eğer bir sayının sonunda zaten hiç sıfır yoksa, o sayıyı kendisiyle kaç kere çarparsak çarpalım, yine sonunda sıfır oluşmaz. Örneğin, 3 sayısının sonunda sıfır yoktur. 3³ = 27 sayısının sonunda da sıfır yoktur. 7 sayısının sonunda sıfır yoktur. 7³ = 343 sayısının sonunda da sıfır yoktur.
Bu durumda, (6.26.44.54.69.81) çarpımının sonunda 0 sıfır basamağı olduğu için, bu sayının küpünün (üçüncü kuvvetinin) de sonunda 0 sıfır basamağı olacaktır.
Yani, (6.26.44.54.69.81)³ sayısının sondan 0 (sıfır) basamağı sıfırdır.