Bu tür sorular, matematiksel düşünme becerilerimizi geliştiren ve sayıların gizemli dünyasını keşfetmemizi sağlayan harika problemlerdir. Aradığımız sayıya $x$ diyelim ve verilen koşulları adım adım inceleyelim.
1. Koşulları Anlayalım:
Verilen iki bilgi, matematiksel olarak şu şekilde ifade edilebilir:
- "10 ile bölündüğünde 3 kalanını veren sayı": Bu, sayının 10'un bir katından 3 fazla olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak $x = 10 \times k + 3$ şeklinde yazılabilir (burada $k$ bir tam sayıdır).
- "12 ile bölündüğünde 5 kalanını veren sayı": Bu da sayının 12'nin bir katından 5 fazla olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak $x = 12 \times m + 5$ şeklinde yazılabilir (burada $m$ bir tam sayıdır).
2. Çözüm Yöntemi 1: Listeleme ve Karşılaştırma (Daha Sezgisel Bir Yaklaşım)
Öncelikle, her iki koşulu ayrı ayrı sağlayan sayıları listeleyelim ve ortak olan en küçük sayıyı bulmaya çalışalım.
-
10'a bölündüğünde 3 kalanını veren sayılar:
Bu sayılar, son rakamı 3 olan sayılardır. Yani:
3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93, 103, 113, ...
-
12'ye bölündüğünde 5 kalanını veren sayılar:
Bu sayıları bulmak için 12'nin katlarına 5 ekleyerek ilerleyebiliriz:
- $12 \times 0 + 5 = 5$
- $12 \times 1 + 5 = 17$
- $12 \times 2 + 5 = 29$
- $12 \times 3 + 5 = 41$
- $12 \times 4 + 5 = 53$
- $12 \times 5 + 5 = 65$
- ...
Her iki listeyi karşılaştırdığımızda, her iki koşulu da aynı anda sağlayan en küçük doğal sayının 53 olduğunu açıkça görebiliriz.
3. Çözüm Yöntemi 2: Cebirsel Yaklaşım (Daha Genel Bir Yöntem)
Yukarıda yazdığımız denklemleri birbirine eşitleyerek de çözüme ulaşabiliriz:
$10k + 3 = 12m + 5$
Şimdi denklemi düzenleyerek $k$ ve $m$ arasındaki ilişkiyi bulalım:
$10k - 12m = 5 - 3$
$10k - 12m = 2$
Her tarafı 2'ye bölelim (bu, işlemimizi kolaylaştıracaktır):
$5k - 6m = 1$
$5k = 6m + 1$
Şimdi $m$ için sıfırdan başlayarak tam sayı değerleri vererek $k$'nın da tam sayı olduğu ilk durumu bulmaya çalışalım. Unutmayın, $k$ ve $m$ doğal sayılar olmalı ki $x$ pozitif olsun.
- Eğer $m = 0$ ise, $5k = 1 \implies k = 1/5$ (tam sayı değil)
- Eğer $m = 1$ ise, $5k = 6(1) + 1 = 7 \implies k = 7/5$ (tam sayı değil)
- Eğer $m = 2$ ise, $5k = 6(2) + 1 = 13 \implies k = 13/5$ (tam sayı değil)
- Eğer $m = 3$ ise, $5k = 6(3) + 1 = 19 \implies k = 19/5$ (tam sayı değil)
- Eğer $m = 4$ ise, $5k = 6(4) + 1 = 25 \implies k = 5$ (Bu bir tam sayı! İşte aradığımız değerlerden biri.)
En küçük $m$ değeri 4 olduğunda, $k$ değeri 5 oluyor. Şimdi bu değerleri orijinal denklemlerimizden birine yerine koyarak $x$'i bulalım:
- $x = 10k + 3 = 10(5) + 3 = 50 + 3 = 53$
- Veya $x = 12m + 5 = 12(4) + 5 = 48 + 5 = 53$
Her iki durumda da sonuç 53 olarak bulunur.
Ek Bilgi: Diğer Çözümler ve Genel Form
Bu tür problemlerin birden fazla çözümü olabilir. Eğer en küçük sayıyı bulduysak, diğer sayıları bulmak için 10 ve 12'nin en küçük ortak katını (EKOK) kullanırız:
- $10 = 2 \times 5$
- $12 = 2^2 \times 3$
EKOK(10, 12) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
Yani, 53 sayısına 60'ın katlarını eklediğimizde de aynı koşulları sağlayan sayılar elde ederiz: 53, 53+60=113, 113+60=173, ...
Genel olarak, bu koşulları sağlayan sayılar $60n + 53$ formundadır (burada $n$ bir doğal sayıdır).
Sonuç olarak, 10 ile bölündüğünde 3 kalanını veren ve 12 ile bölündüğünde 5 kalanını veren en küçük doğal sayı 53'tür.