Bu soru, büyük bir çarpımın kendisini hesaplamak yerine, onun belirli bir özelliğini, yani 10 ile bölümünden kalanı bulmamızı isteyen harika bir problemdir. Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağıdır. Yani, bu devasa çarpımın son basamağını bulmamız gerekiyor.
Öncelikle, sayının son basamağını belirleyen temel faktörleri hatırlayalım:
- Bir sayının son basamağının 0 olması için o sayıda en az bir tane 2 çarpanı ve en az bir tane 5 çarpanı bulunmalıdır (örneğin 2x5=10, 4x5=20).
- Bir sayının son basamağının 5 olması için o sayıda en az bir tane 5 çarpanı bulunmalı ve hiç 2 çarpanı bulunmamalıdır (veya 2 çarpanları ile 5 çarpanları birbirini götürmelidir, ancak burada sadece 5'in kendisi kalırsa 5 olur).
- Eğer bir sayıda sadece 2 çarpanları varsa (ama 5 çarpanı yoksa), son basamak 0 veya 5 olamaz, mutlaka bir çift sayı (2, 4, 6, 8) olur.
Şimdi problemimize dönelim: 1'den 99'a kadar olan sayıların çarpımı, ancak 5'in katları hariç. Bu, çarpıma 5, 10, 15, 20, ..., 95 gibi hiçbir sayının dahil edilmediği anlamına gelir.
-
5 çarpanlarının durumu: Soru açıkça 5'in katlarının çarpımdan çıkarıldığını belirtiyor. Bu durumda, elde edeceğimiz çarpımda hiçbir 5 çarpanı bulunmaz. Bu çok önemli! Çünkü 5 çarpanı olmadığı için, çarpımın son basamağı asla 0 veya 5 olamaz.
-
2 çarpanlarının durumu: Çarpımımızda 2, 4, 6, 8, ..., 98 gibi pek çok çift sayı (yani 2 çarpanı içeren sayılar) bulunmaktadır. Bu da çarpımda bol miktarda 2 çarpanı olduğunu gösterir.
Sonuç olarak, çarpımımızda bolca 2 çarpanı var ama hiç 5 çarpanı yok. Bu durumda çarpımın son basamağı mutlaka bir çift sayı olmalıdır (2, 4, 6 veya 8).
Son Basamağı Bulma Adımları:
Çarpımın son basamağını (yani 10 ile bölümünden kalanı) bulmak için, çarptığımız sayıların birler basamaklarını dikkate almamız yeterlidir. Bu yönteme modüler aritmetik denir.
Önce, 1'den 9'a kadar olan sayılardan 5'in katlarını çıkararak elde ettiğimiz çarpımın birler basamağını bulalım:
$(1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9) \pmod{10}$
- $(1 \times 2) = 2$
- $(2 \times 3) = 6$
- $(6 \times 4) = 24 \equiv 4 \pmod{10}$
- $(4 \times 6) = 24 \equiv 4 \pmod{10}$
- $(4 \times 7) = 28 \equiv 8 \pmod{10}$
- $(8 \times 8) = 64 \equiv 4 \pmod{10}$
- $(4 \times 9) = 36 \equiv 6 \pmod{10}$
Gördüğümüz gibi, 1'den 9'a kadar olan sayılardan 5'i çıkardığımızda elde edilen çarpımın son basamağı 6'dır.
Şimdi, 1'den 99'a kadar olan sayılara bu örüntüyü uygulayalım. Sayıları aşağıdaki gibi gruplandırabiliriz:
- (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9) - Ürün son basamağı 6
- (11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19) - Birler basamakları aynı, ürün son basamağı 6
- ...
- (81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89) - Birler basamakları aynı, ürün son basamağı 6
Bu şekilde 1'den 89'a kadar (5'in katları hariç) 9 adet böyle grup vardır. Bu 9 grubun çarpımının son basamağı, $6 \times 6 \times \dots \times 6$ (9 kez) olacaktır. 6'nın herhangi bir kuvvetinin birler basamağı her zaman 6'dır ($6^1=6, 6^2=36, 6^3=216$).
Yani, 1'den 89'a kadar olan sayıların (5'in katları hariç) çarpımının son basamağı 6'dır.
Şimdi geriye kalan sayılara bakalım: 91'den 99'a kadar olan sayılar (95 hariç):
$(91 \times 92 \times 93 \times 94 \times 96 \times 97 \times 98 \times 99) \pmod{10}$
Bu sayıların birler basamakları da tıpkı ilk grubumuzdaki gibi (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9) şeklindedir. Dolayısıyla, bu çarpımın son basamağı da 6 olacaktır.
Son olarak, tüm bu çarpımları birleştirelim:
Toplam çarpımın son basamağı = (1'den 89'a kadar olan çarpımın son basamağı) $\times$ (91'den 99'a kadar olan çarpımın son basamağı) $\pmod{10}$
$= (6 \times 6) \pmod{10}$
$= 36 \pmod{10}$
$= 6$
Bu durumda, 1'den 99'a kadar (5'in katları hariç) bütün sayıların çarpımının 10 ile bölümünden kalan 6'dır.