Verilen eşitsizlik: \( \sqrt{x+1} > x - 1 \)
Çözüm adımları:
- Tanım kümesini belirleyelim: \( \sqrt{x+1} \) ifadesi için içerideki ifade negatif olamaz, yani \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \).
- Eşitsizliği sağlayan x değerlerini bulmak için inceleyelim:
Eşitsizliği daha kolay çözmek için her iki tarafın da tanımlı olduğu" ve bilinçli olarak kare alırken "tersine durumlarına dikkat edilir.
- Öncelikle \( x - 1 \geq 0 \) ise, yani \( x \geq 1 \) için kare alabiliriz:
\( \sqrt{x+1} > x - 1 \Rightarrow (\sqrt{x+1})^2 > (x - 1)^2 \Rightarrow x + 1 > x^2 - 2x + 1 \)
Basitleştirirsek:
\( x + 1 > x^2 - 2x + 1 \Rightarrow 0 > x^2 - 3x \Rightarrow x^2 - 3x < 0 \)
Bu da:
\( x(x - 3) < 0 \) olmalı. Bu, \( x \) in 0 ile 3 arasında olduğu anlamına gelir.
- Ancak bu durumda, başlangıçta \( x \geq 1 \) olduğu için, bu aralık kesişiminde \( 1 \leq x < 3 \) olur.
- Eğer \( x - 1 < 0 \) ise, yani \( x < 1 \) için:
\( \sqrt{x+1} > x - 1 \) ifadesinde sağ taraf negatiftir, sol taraf ise her zaman sıfır veya pozitiftir. Bu durumda eşitsizlik her zaman sağlanır çünkü pozitif bir sayı negatif bir sayıdan büyüktür.
Tanım kümesi \( x \geq -1 \) olduğundan ve burada \( x < 1 \) için eşitsizlik sürekli doğru olduğundan, \( -1 \leq x < 1 \) aralığında eşitsizlik sağlanır.
Sonuç olarak:
\( x \in [-1,1) \cup [1,3) = [-1,3) \)
Yani, eşitsizliği sağlayan değerler \( x \in [-1,3) \) aralığındadır.