3,5 ve 7 ye bölündüğünde 2 kalanını veren sayıyı bulunuz.?

Question

Bu soru, temel matematiksel kavramlar üzerine kurulu bir sayılar problemidir. Amacımız, 3, 5 ve 7 sayılarına bölündüğünde her seferinde 2 kalanını veren bir sayıyı bulmaktır. Bu tür problemler genellikle en küçük ortak kat (EKOK) prensibini kullanarak çözülür. Öncelikle 3, 5 ve 7 gibi verilen sayıların EKOK'unu bulmamız gerekmektedir. Ardından, bu EKOK değerine ortak kalan olan 2'yi ekleyerek sorunun cevabına ulaşabiliriz. Bu problem, bölme işlemi, kalanlı bölme ve sayıların ortak katlarını bulma becerilerinizi test eder. Aynı anda birden fazla koşulu sağlayan sayıları belirleme yeteneğinizi ölçer.

Answer 1

Bu soru, matematikte "modüler aritmetik" veya daha basit bir ifadeyle "bölme ve kalan" ilişkisiyle ilgili çok güzel bir problemdir. Hadi adım adım bu sayıyı bulalım ve mantığını anlayalım:

Soruda bizden istenen, 3'e, 5'e ve 7'ye bölündüğünde her seferinde 2 kalanını veren bir sayı bulmak. Bu tür problemlerde izleyeceğimiz yol genellikle şöyledir:

1. **Kalanı Dikkate Almak:** Bir sayı, farklı sayılara bölündüğünde hep aynı kalanı veriyorsa, o sayıdan bu kalanı çıkardığımızda elde ettiğimiz yeni sayı, ilk bölenlerin hepsine tam bölünür.
   • Yani, aradığımız sayıya 'X' dersek, X sayısı 3'e bölündüğünde 2 kalanını veriyor. Bu durumda X-2 sayısı 3'e tam bölünür.
   • Aynı şekilde, X-2 sayısı 5'e tam bölünür.
   • Ve X-2 sayısı 7'ye tam bölünür.
2. **Ortak Katı Bulmak:** X-2 sayısı hem 3'e, hem 5'e, hem de 7'ye tam bölünüyorsa, bu sayı 3, 5 ve 7'nin ortak bir katı olmalıdır. Bu tür problemlerde genellikle en küçük pozitif sayıyı bulmak için "En Küçük Ortak Kat" (EKOK veya LCM) kullanılır.
   • 3, 5 ve 7 sayıları asal sayılardır. Asal sayıların EKOK'u, o sayıların birbiriyle çarpımıdır.
   • EKOK(3, 5, 7) = 3 × 5 × 7 = 105.
   Bu durumda, X-2 sayısı 105'in katı olmalıdır. Yani X-2 = 105k (burada k bir tam sayıdır).
3. **Aradığımız Sayıyı Bulmak:** Şimdi X-2 = 105k eşitliğinden X'i yalnız bırakalım:
   • X = 105k + 2
   Bizden en küçük pozitif sayıyı bulmamız istendiği için 'k' yerine en küçük pozitif tam sayı olan 1'i yazarız:
   • X = (105 × 1) + 2
   • X = 105 + 2
   • X = 107

Yani, 3, 5 ve 7'ye bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük pozitif sayı **107**'dir.

Kontrol edelim:

• 107 / 3 = 35 (kalan 2) (Çünkü 3 x 35 = 105)
• 107 / 5 = 21 (kalan 2) (Çünkü 5 x 21 = 105)
• 107 / 7 = 15 (kalan 2) (Çünkü 7 x 15 = 105)

Gördüğümüz gibi, 107 sayısı koşulları sağlamaktadır. Unutmayın, bu türde sonsuz sayıda sayı vardır. Örneğin, k yerine 2 yazsaydık: X = (105 × 2) + 2 = 210 + 2 = 212 de aynı özelliği gösterirdi.