Fonksiyonların tanım ve değer kümelerinin öyle alt kümelerini bulmalıyız ki, fonksiyonlar bu alt kümelerde birebir (injektif) ve örten (surjektif) olsun. Bu durumda, fonksiyonların tanım kümesinde ve değer kümesinde birbirine karşılık gelen eşsiz değerler olacak ve tüm değer kümesinin elemanları fonksiyonun görüntüsü olacaktır.
1) f(x)=x² - 2x
Bu fonksiyon bir ikinci derece fonksiyondur ve noktası yukarı bakan parabol gibidir. Genelde ikinci derece fonksiyonlar tüm reel sayılarda birebir değildir çünkü simetrik yapıları vardır.
- Fonksiyonun tanım kümesini sınırlarsak (örneğin x ≥ 1), bu aralıkta fonksiyon monoton artan hale gelir ve böylece birebirdir.
- Fonksiyonun değer kümesi ise, f(1) = 1² - 2·1 = -1 olup, f(x) için bu minimum değerden başlayarak tüm daha büyük değerlere kadar içerir.
Örnek olarak:
- Tanım kümesi: [1, ∞)
- Değer kümesi: [-1, ∞)
Bu alt kümeler üzerinde f birebir ve örten olur.
2) f(x)=x³
Bu fonksiyon tüm reel sayılarda hem birebir hem oranlıdır, çünkü x³ fonksiyonu monoton artandır.
- Tanım kümesi: tüm reel sayılar (ℝ)
- Değer kümesi: tüm reel sayılar (ℝ)
Burada fonksiyon zaten baştan birebir ve örtendir, dolayısıyla alt kümeye ihtiyaç yoktur.
3) f(x)=x² + 2x -1
İkinci derece bir fonksiyon olduğu için genelde birebir değildir. Ancak tanım kümesini sınırlandırırsak birebir olabilir.
- Fonksiyonun tepe noktası x = -b/(2a) = -2/2 = -1
- f(-1) = (-1)² + 2(-1) -1 = 1 - 2 -1 = -2
- Tanım kümesi olarak [-1, ∞) veya (-∞, -1] seçilirse, fonksiyon monoton olur ve birebirdir.
- Değer kümeleri sırasıyla [-2, ∞) ya da (-∞, -2] olur.
Bu alt kümeler üzerinde fonksiyon birebir ve örtendir.