Verilen fonksiyonal denklem:
f(4xy) = 2y(f(x+y) + f(x-y))
Burada f, reel sayılardan reel sayılara tanımlı bir fonksiyondur ve bu koşulu sağlayan tüm fonksiyonlar bulunmalıdır.
Bu tür fonksiyonel denklemler genellikle özel yöntemlerle ya da uygun değişken seçimleri yapılarak çözülür.
Öncelikle y=0 alınırsa:
f(0) = 2*0 (f(x) + f(x)) = 0
Sonuç olarak:
f(0) = 0
Daha sonra değişkenleri sistematik değiştirerek, örneğin x=0 alınabilir:
f(0) = 2y(f(y)+f(-y))
0 = 2y(f(y) + f(-y))
Buradan, f(y) + f(-y) = 0 yani f(-y) = -f(y). Yani f, tek fonksiyondur.
Tek fonksiyon olması f'nin formunu sınırlandırır. Şimdi orijinal denkleme dönelim ve y=1 alalım:
f(4x) = 2(f(x+1) + f(x-1))
Şimdi, g(x) = f(x) diye tanımlayalım. Denklemi tekrar yazarsak:
f(4x) = 2(f(x+1) + f(x-1))
g(4x) = 2(g(x+1) + g(x-1))
Bu fonksiyonel denkleme uyan fonksiyonlar genellikle polinom çözümleri olur. g(x) = ax şeklindeki lineer bir fonksiyon deneyebiliriz çünkü f tek fonksiyon.
Deneyelim g(x)=ax:
Sol taraf: g(4x) = a*4x = 4ax
Sağ taraf: 2(g(x+1) + g(x-1)) = 2(a(x+1) + a(x-1)) = 2(a x + a + a x - a) = 2(2 a x) = 4 a x
Sol ve sağ taraf eşit, böylece f(x) = a x tüm reel a için çözüm olur.
Daha genel fonksiyonlar için ise bu tür fonksiyonların yalnızca bu şekillerde olması beklenir.
Sonuç: Koşulu sağlayan tüm reel fonksiyonlar f(x) = a x biçimindedir, burada a reel sayıdır.